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Mathematik für das Lehramt (B.Sc.)

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Der Satz des Thales

Der Satz des Thales besagt folgendes:

Man nehme einen Halbkreis, der durch seinen Durchmesser begrenzt ist. Wenn man nun ein Dreieck so konstruiert, dass die beiden Endpunkte des Durchmessers je eine Ecke des Dreiecks bilden und die dritte Ecke des Dreiecks ein beliebiger Punkt auf der Halbkreisperipherie ist, so ist das Dreieck rechtwinklig.

Diesen geometrischen Satz kann man natürlich auch beweisen, wobei wir Folgendes bereits wissen:

  • Wenn sich zwei Geraden schneiden, sind die sich am Schnittpunkt jeweils gegenüberliegenden Winkel gleich groß.
  • Wenn eine Gerade zwei Parallelen schneidet, so sind die Stufenwinkel gleich groß.
  • Wenn eine Gerade zwei Parallelen schneidet, so sind die Wechselwinkel gleich groß.
  • In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.
  • Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°.
  • Der gestreckte Winkel hat 180°.
  • Der Vollwinkel beträgt 360°.
  • Wenn vier gleich große Winkel zusammen 360° ergeben, müssen es vier rechte Winkel sein.

1. Aufgabe

Bevor uns einem Beweis des Satz des Thales zuwenden, lösen Sie bitte die folgende Aufgabe.

Ordnen Sie in der unten angegeben Aufgabenmatrix zu, jeweils welchem Dreieckswinkel α, β, δ, ε die in der folgenden Zeichnung nummerierten Winkel in ihrer Größe entsprechen.

 

α

β

δ

ε

Winkel Nr. 1

Weil A und C auf der Kreisperipherie liegen, haben sie beide den gleichen Abstand zum Mittelpunkt M und AMC ist ein gleichschenkliges Dreieck. Daher müssen die Basiswinkel gleich groß sein.

Winkel Nr. 2

Weil B und C auf der Kreisperipherie liegen, haben sie beide den gleichen Abstand zum Mittelpunkt M und BMC ist ein gleichschenkliges Dreieck. Daher müssen die Basiswinkel gleich groß sein.

Winkel Nr. 3

Da dieser Winkel der 1 gegenüberliegt, muss er gleich groß sein.

Winkel Nr. 4

Da dieser Winkel der 2 gegenüberliegt, muss er gleich groß sein.

Winkel Nr. 5

Dies ist der Stufenwinkel von α, damit muss er gleich groß sein.

Winkel Nr. 6

Dies ist der Stufenwinkel von β, damit muss er gleich groß sein.

Winkel Nr. 7

Dieser Winkel liegt der 5 gegenüber, muss also gleich groß sein.

Winkel Nr. 8

Dieser Winkel liegt der 6 gegenüber, muss also gleich groß sein.

Sie erhalten ein Feedback zu den einzelnen Antworten, indem Sie auf das klicken.

2. Aufgabe

Können Sie nun anhand des in der Einleitung vorausgesetzten Wissens begründen, warum der Thalessatz gilt?
Lösung

Wenn wir den Strahl durch AC und BC betrachten, können wir sehen, dass jeder der vier Winkel daran die Summe aus α und β sind. Wir haben also vier gleiche Winkel, die zusammen den Vollwinkel ergeben. Daher muss α + β ein rechter Winkel sein.

Ebenso könnte man argumentieren: Da wir je zwei benachbarte Winkel der Größe α + β erhalten, die sich zu 180° ergänzen, müssen, wegen 2x( α + β) =180°, beide 90° betragen.