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Mengensprechweise
In der Mathematik gibt es viele Begriffe, die es auch in der Alltagssprache gibt. Allerdings ist die Bedeutung dieser Begriffe in der Mathematik sehr spezifisch, immer klar definiert.
Wir betrachten nun den Begriff „Menge“:
Die Mengenlehre ist eines der Grundkonstrukte der Mathematik.
Man fasst verschiedene „Elemente“ (Dinge, Zahlen, Personen, o.ä.) zusammen und nennt dies Menge. Beispielsweise könnte man die einzelnen Schülerinnen und Schüler (Elemente) zu der Menge „Schulklasse“ zusammenfassen oder die einzelnen Elemente: Apfel, Banane, Milch und Butter zur Menge „heutiger Einkauf“. In der Sprache der Mathematik würde das folgendermaßen aussehen:
Heutiger Einkauf:={Apfel, Banane, Milch, Butter}
Das bedeutet: Die Menge „heutiger Einkauf“ wird definiert als {Apfel, Banane, Milch, Butter}.
In der Mathematik geht es aber seltener um Einkäufe als um Zahlen und Zahlenmengen. Wir kennen z.B. die Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, 4, …}, die Menge der geraden Zahlen, die Menge der Primzahlen etc.. Man kann auch einfach endliche Mengen aus bestimmten Zahlen, wie z.B. X:={ 3, 5, 2, 23, 17} bilden.
In der Mengenlehre ist es egal, in welcher Reihenfolge die einzelnen Elemente aufgezählt werden und ob ein Element nur einfach oder mehrfach genannt wird, also:
{3, 5, 2, 23, 17} = {3, 3, 3, 5, 2, 17, 23}
In der Mengenlehre gibt es zwei ganz grundlegende Symbole: "⋂" und "⋃" (siehe "Grundbegriffe der Mengenlehre").
Vereinigung
"⋃" bedeutet Vereinigung von Mengen. Wenn ich also zwei Mengen A, B habe, bedeutet A⋃B, dass beide Mengen zusammengeschlossen werden.
Beispiel:
A:={1,2,3,4,5,6,}
B:={4,5,6,7,8,9,10}
Die Vereinigung also A⋃B wäre dann
A⋃B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
Durchschnitt
"⋂" beschreibt den Durchschnitt der Mengen. Der Durchschnitt besteht aus den Elementen, die beide Mengen gemeinsam haben:
Für unsere Mengen A und B wäre das dann:
A⋂B={4,5,6}
Es gibt auch die leere Menge. Wenn beispielsweise zwei Mengen keine Elemente gemeinsam haben, ist der Durchschnitt beider, die leere Menge, also { }.
Mächtigkeit
Die Mächtigkeit einer Menge ist gleich der Anzahl ihrer Elemente. Dies gilt nur für die verschiedenen Elemente. Wenn also Elemente mehrfach auftauchen, werden sie nicht mehrfach, sondern nur einmal mitgezählt. Die Mächtigkeit wird durch Betragsstriche gekennzeichnet.
Für die obigen Mengen A und B gilt dann folgendes:
|A|=6 (die Mächtigkeit von A ist 6, also hat die Menge A sechs verschiedene Elemente)
|B|=7
|A⋃B|=10
|A⋂B|=3
1. Aufgabe
Seien X und Y Mengen mit:
X:= {7, 4, 6, 0, 9}
Y:= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Welche der folgenden Mengen ist nicht die gleiche wie X?
Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente beinhalten, dabei ist es egal, ob sie mehrfach vorkommen und in welcher Reihenfolge sie stehen. Daher ist die zweite Antwortoption {7, 4, 6, 9} richtig, bei der das Element "0" fehlt.
Wie lautet der Durchschnitt der beiden Mengen X⋂Y ?
Beide Mengen haben die Elemente: 7, 4, 6 und 9 gemeinsam und keine weiteren. Daher ist die vierte Antwortoption {7, 4, 6, 9} richtig.
Welche Mächtigkeit hat die Vereinigung der Mengen X⋃Y?
Diese Menge hat 13 unterschiedliche Elemente:
X⋃Y ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
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2. Aufgabe
Nun kommt noch eine dritte Menge Z hinzu mit
Z:= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.
Weiterhin gilt:
X:= {7, 4, 6, 0, 9}
Y:= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Was ist die Vereinigung von allen drei Mengen X⋃Y⋃Z?
Nur in der zweiten Antwortoption {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14} sind alle Elemente aus allen drei Mengen zusammengeschlossen.
Was ist das Ergebnis von: X⋃(Y⋂Z)? (Klammerregeln gelten wie üblich)
Da Klammern zuerst ausgerechnet werden, bestimmen wir zunächst (Y⋂Z)={2,4,6,8,10,12}. Dann bilden wir die Vereinigung von (Y⋂Z) und X. Also: X⋃(Y⋂Z)={7,0,9,2,4,6,8,10,12} (siehe Antwortoption Nr. 4).
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3. Aufgabe
Bitte rechnen Sie auf einem Blatt aus, ob folgende Aussagen über die o.g. drei Mengen stimmen!
4. Aufgabe
Wir haben jetzt an diesem Beispiel gesehen, dass die Aussage X⋂(Y⋃Z) = (X⋂Y)⋃(X⋂Z) zutrifft. In der Mathematik interessieren wir uns aber vor allem dafür, ob Aussagen verallgemeinerbar sind, also ob diese Aussage auf drei beliebige Mengen A, B, C zutrifft.
Es seien A, B, C beliebige Mengen. Beweisen Sie: A⋂(B⋃C) = (A⋂B)⋃(A⋂C)
Gleichheit der beiden Seiten bedeutet, dass jedes Element x, dass in der linken Seite enthalten ist, auch in der rechten Seite enthalten sein muss und dass jedes y, dass in der rechten Seite ist, auch in der linken Seite sein muss.
Nehmen wir uns ein x, dass ein Element der linken Seite ist, was bedeutet das?
Sei x∈A⋂(B⋃C), dann gilt x∈A und x∈(B⋃C). Es gibt also zwei Möglichkeiten, entweder liegt das x in B oder es liegt in c. Wenn x∈C, dann liegt x∈A⋂C, wenn x∈B, dann liegt x∈A⋂B. Dies bedeutet, dass x∈(A⋂B)⋃(A⋂C) liegt. Dies ist die rechte Seite. Wir haben also gezeigt, dass wenn x in der linken Seite liegt, auch in der rechten Seite liegen muss.
Können Sie den letzten Teil nun allein?
Nehmen wir nun ein x, dass in der rechten Seite liegt.
Also x∈(A⋂B)⋃(A⋂C). Damit muss x entweder in (A⋂B) oder in (A⋂C) liegen. In beiden Fällen muss aber x∈A sein und es muss in B oder C sein also auf jeden Fall in der Vereinigung (B⋃C). Wenn nun also x in A liegt und x in der Vereinigung von B und C liegt, muss es auch im Durchschnitt A⋂(B⋃C) liegen. Dies ist die linke Seite der Gleichung. Damit haben wir die Aussage bewiesen. Am Ende eines Beweises schreibt der/die MathematikerIn ein kleines Quadrat. ▢