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Binärzahlen
Üblicherweise denken, zählen und rechnen wir im Dezimalsystem (lat. decem = zehn). D.h. wir haben zehn Ziffern, (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), mit denen wir alle Zahlen bilden und mit denen wir rechnen können.
Computer hingegen können nicht zehn unterschiedliche Ziffern oder Zustände unterscheiden. Computer können nur die zwei Zustände „an“ und „aus“ unterscheiden. Daher rechnen sie im Binärsystem (lat. bina = doppelt, paarweise). Dies bedeutet, dass es im Binärsystem nicht zehn verschiedene Ziffern, sondern nur zwei, nämlich 0 und 1 gibt.
Das Zählen und Rechnen verläuft, egal in welchem System man sich befindet, immer nach demselben Schema ab. Wenn man das verstanden hat, kann man im Prinzip in jedem Zahlensystem (es gibt nicht nur diese beiden) zurechtkommen.
Nun führen wir uns das Grundschema am Beispiel der bekannten Dezimalzahlen vor Augen:
Die zehn Ziffern, die wir kennen, können wir der Größe nach sortieren: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9. Wenn wir bis zur größten Zahl hochgezählt haben, machen wir weiter, indem wir nach vorn die nächstgrößere Zahl stellen. Bei den Zahlen 0-9 kann man auch so darstellen: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09. Also schreiben wir nun die 1 nach vorn und erhalten nach der 9 die 10. Hier zählen wir wieder hoch, bis es nicht mehr weitergeht (bis 19) und schreiben dann vorne die nächstgrößere Zahl, also die 2 hin und erhalten die 20. Nach diesem System können wir beliebig weiterzählen. Sind wir beispielsweise bei der 1299 angelangt, schreiben wir vor die Stelle, bei der wir nicht weiterkommen, die nächsthöhere Zahl hin und erhalten die 1300. So können wir mit nur 10 Ziffern alle natürlichen Zahlen schreiben und eindeutig der Größe nach sortieren. Wegen der verschiedenen Wertigkeit der Ziffern in einer Zahl (z.B. 111 = 1∙102 + 1∙101 + 1∙100) spricht man von einem Positionssystem.
Im Binärsystem läuft das genauso ab, nur mit weniger Ziffern, der 0 und der 1, mit 0 < 1.
Wir zählen nun mit unseren Binärzahlen hoch bis es nicht mehr weiter geht: 0,1, und sind schon fertig. Jetzt wird vorn die nächst höhere Zahl hinzugefügt und wir erhalten als nächstes die 10, 11 und sind schon wieder fertig. Also muss vorn wieder die 1 ran, usw.. In der Tabelle sind die ersten acht Zahlen sowohl im Binär-, als auch im Dezimalsystem aufgeführt.
1. Aufgabe
Mit dem Binärsystem kann man also genauso wie mit dem Dezimalsystem alle natürlichen Zahlen darstellen und sie eindeutig ihrer Größe nach ordnen.
Welcher Zahl im Binärsystem entspricht die Zahl 10 des Dezimalsystems?
Die Zahl 10 im Dezimalsystem entspricht der Zahl 1010 im Binärsystem. Die Zahlen 1001, 1100 und 1111 entsprechen den Zahlen 9, 12 bzw. 13.
Welcher Zahl im Binärsystem entspricht die Zahl 16 des Dezimalsystems?
Die Zahl 16 im Dezimalsystem entspricht der Zahl 10000 im Binärsystem. Die Zahlen 10111, 10001 und 11000 entsprechen den Zahlen 23, 17 bzw. 24.
Welcher Zahl im Dezimalsystem entspricht die Zahl 10100 des Binärsystems?
Die Zahl 10100 im Binärsystem entspricht der Zahl 20 im Dezimalsystem.
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2. Aufgabe
Die Grundrechenarten lassen sich ebenso ganz einfach ins Binärsystem übertragen.
Schriftliche Addition
Addiert man im Dezimalsystem schriftlich, so geht man, wie bereits in der Grundschule gelernt, folgendermaßen vor:
Zunächst addiert man die letzten Ziffern (die „Einer“), also 5 + 7 = 12. Hier erhält man die Einerstelle 2 und noch die „1 im Sinn“, oder den sog. „Übertrag“.
Dann addiert man die „Zehner“, also: 1+1+ „1 im Sinn“ = 3.
Im Dezimalsystem haben wir ja bekanntermaßen die sog. „Einer“, „Zehner“, „Hunderter“, etc. Dies beruht darauf, dass diese Zahlen die Potenzen der 10 sind (und wir haben ja 10 Ziffern). Da wir im Binärsystem nur zwei Ziffern haben, müssen wir hier die Stellen nach den Potenzen der 2 benennen. Wir haben die „Einer“, „Zweier“, „Vierer“, „Achter“, „16er“, „32er“, „64er“, usw.. Nun addieren wir die gleichen Zahlen wie vorher, nun im Binärsystem. Der 15 im Dezimalsystem entspricht dann die 1111 und der 17 entspricht im Binärcode die 10001.
Also:
Wir addieren wieder die „Einer“ (1+1 = 10) und erhalten als Einerstelle die 0 und für die Zweierstelle die „1 im Sinn“.
Jetzt addieren wir die Zweierstellen: 1+0+“1 im Sinn“ = 10
Nun die Viererstellen: 1+0+“1 im Sinn“ = 10
Nun die Achterstellen: 1+0+“1 im Sinn“ = 10
Und Zum Schluss die 16er-Stellen: 1+0+“1 im Sinn“ = 10 und erhalten:
Wenn wir nun nachsehen, welche Zahl 100000 in Dezimalzahlen entspricht, sehen wir, dass es die 32 ist, und wir bei beiden Rechnungen auf das gleiche Ergebnis gekommen sind.
3. Aufgabe
Auch die schriftliche Multiplikation kann man genau ins Binärsystem übertragen, z.B.:
Das System sollte aus der Schule noch bekannt sein, kann ansonsten im Internet nachgelesen werden. Im Binärsystem geht das gleiche System analog anzuwenden.
Multiplizieren Sie schriftlich auf einem Blatt Papier die beiden Binärzahlen 1100 und 11011.
Wie lautet das Ergebnis?
Die richtige Lösung lautet 101000100.
4. Aufgabe
Übersetzen Sie die beiden Faktoren in Dezimalzahlen und überprüfen Sie Ihr Ergebnis!
12 ∙ 27 = 324