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Äquivalenzrelationen
In weiten Bereichen der Mathematik ist man bemüht, Mengen in Klassen aufzuteilen, so dass die Objekte einer Klasse sich in gewissen Aspekten ähneln. Einen formalen Zugang dazu bieten die Äquivalenzrelationen.
Definition: Sei MxM die Menge aller Paare (a,b) mit Einträgen aus M. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine Teilmenge R von MxM, welche folgende Bedingungen erfüllt:
- Reflexivität: Für alle a in M ist (a,a) in R.
- Symmetrie: Für alle a,b in M mit (a,b) in R, gilt auch (b,a) ist in R.
- Transitivität: Für alle a,b,c in M mit (a,b) in R als auch (b,c) in R, gilt (a,c) ist in R.
Üblicherweise schreibt man a ~ b statt (a,b) in R.
Für ein gegebenes Element a in M bezeichnen wir die Menge aller dazu äquivalenten Elemente als Äquivalenzklasse, sie wird oft mit [a] oder mit einem Balken über dem Buchstaben geschrieben.
Das Element a bezeichnet man als Repräsentanten der Klasse [a], jedoch auch jedes andere Element b, das äquivalent zu a ist, kann als Repräsentant dieser Klasse verwendet werden.
Die Menge aller Äquivalenzklassen bildet eine disjunkte Zerlegung (oder auch Partition) von M und umgekehrt definiert jede disjunkte Zerlegung eine Äquivalenzrelation. Man bezeichnet die Menge aller Äquivalenzklassen auch als Quotientenraum von M nach der Äquivalenzrelation, geschrieben:
Beispiel: Sei M die Menge der ganzen Zahlen, zerlegt in die geraden (inklusive 0) und die ungeraden Zahlen. Das definiert uns folgende Äquivalenzrelation: Für a, b Elemente in M sei a äquivalent zu b genau dann, wenn a und b entweder beide gerade oder beide ungerade sind. Nehmen wir die 0 und die 1 als Repräsentanten der beiden Äquivalenzklassen, so erhalten wir für den Quotientenraum
auch genannt „Z modulo 2Z“.
Das Rechnen in diesem Körper ist den meisten schon aus der Schule bekannt, zur Erinnerung nochmals die Regeln:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind.
Sei M die Menge aller Schüler einer Schule und R bestehe aus Paaren von Schülern, die gemeinsam eine Klasse besuchen.
Die Klassenverbände bilden eine Partition der Menge aller Schüler einer Schule.
Sei M die Menge aller Personen auf der Erde und R bestehe aus allen Paaren, die die gleiche Staatsbürgerschaft besitzen.
Es gibt auch Personen mit mehreren Staatsbürgerschaften, daher nicht transitiv.
M seien die ganzen Zahlen und R die Menge der Paare (a,b), so dass a–b durch 3 teilbar ist. In mathematischer Schreibweise:
Das ist eine Äquivalenzrelation und die Äquivalenzklassen bilden mit den induzierten Operationen sogar einen Körper:
M wie eben, jedoch R seien Paare (a,b) mit a–b = 3.
Diese Relation ist weder reflexiv noch symmetrisch noch transitiv.
M wie eben, jedoch R seien Paare (a,b) mit |a–b| kleiner oder gleich 3.
Diese Relation ist zwar reflexiv und symmetrisch, aber nicht transitiv.
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