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Mathematik/Statistik
Der Studienbereich Mathematik/Statistik stellt Grundlagen aus der diskreten Mathematik, linearen Algebra und Analysis bereit, die in der Bioinformatik benötigt werden und insbesondere in der Statistik und im maschinellen Lernen ihre Anwendung finden. Der Studienbereich hat einen Umfang von 39 Leistungspunkten und teilt sich in die nachfolgend beschriebenen fünf Module auf.
Studierende erlernen grundlegende Konzepte der Mengenlehre, Logik, Booleschen Algebra, Kombinatorik und
Graphentheorie und üben deren Anwendung. Sie erarbeiten sich in der Mengenlehre Mengen, Relationen, Äquivalenz- und Ordnungsrelationen und Funktionen. Im Bereich der Logik und Booleschen Algebra erarbeiten sie sich Aspekte der Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Erfüllbarkeitstests, sowie Boolesche Funktionen und Normalformen.
Im Themenfeld Kombinatorik erlernen und diskutieren sie das Schubfachprinzip, Rekursion, Abzählprinzipien, Fakultät und Binomialkoeffizienten. Im Themenfeld Graphentheorie erarbeiten sie Repräsentationsformen, Wege, Kreise und Bäume.
Zuletzt erarbeiten sie sich verschiedene Beweistechniken und grundlegende Aspekte Diskreter Wahrscheinlichkeitstheorie. Die meisten dieser Konzepte werden an Rechen- oder Beweisaufgaben geübt.
Die Studierenden erarbeiten sich Begriffe aus dem Bereich der Zahlentheorie (z. B. größter gemeinsamer Teiler;
Euklidischer Algorithmus; Modulo-Rechnung), grundlegende Algebraische Strukturen (z. B. Darstellungen und
Wurzeln im Körper der komplexen Zahlen; endliche Körper; Polynomringe), Strukturen, Konzepte und Verfahren
der Linearen Algebra (z. B. Vektorräume mit Basis und Dimension; lineare Abbildungen; Matrizen; Rang; Kern;
lineare Gleichungssysteme; Gauß-Elimination) und der weiterführenden Linearen Algebra (z. B. Eigenwerte und
Eigenvektoren; Diagonalisierbarkeit; Euklidische Vektorräume; Orthonormalisierung; Basistransformation; Haupt-
achsentransformation). Sie üben den Umgang mit diesen Konzepten an konkreten Rechen- und Beweisaufgaben.
Sie lernen und diskutieren exemplarisch Anwendungen der Linearen Algebra in der Informatik und Bioinformatik
(z. B. Verschlüsselungsverfahren; Affine Geometrie; Statistische Datenanalyse; Codierungstheorie).
Die Studierenden erarbeiten sich zahlreiche Konzepte der eindimensionalen Analysis (z. B. asymptotisches
Wachstum; Potenzreihen; Taylorreihen; Konvergenz; Exponential- und Logarithmusfunktion; trigonometrische
Funktionen; Stetigkeit). Sie erarbeiten sich die Differential- und Integralrechnung (z. B. Ableitungen und ihre An-
wendungen, bestimmtes und unbestimmtes Integral, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) sowie Diffe-
rentialgleichungen. Die meisten dieser Konzepte werden an Rechen- oder Beweisaufgaben geübt. Anschließend
erarbeiten sie sich Teile der Analysis in höheren Dimensionen (z. B. Ableitungsmatrizen; Gradient; Satz von Fubini;
Extremwertberechnung). Sie lernen oder erarbeiten sich exemplarische Anwendungen der Analysis in der Informa-
tik und Bioinformatik (z. B. konvexe Optimierung; Interpolations- und Näherungsverfahren). Auch hier wird weiter
an Rechen- oder Beweisaufgaben geübt.
Die Studierenden befassen sich mit statistischen Modellen und deren Anwendung in der Medizin/Biologie. Es wer-
den grundlegende Konzepte vermittelt wie Zufallsvariablen, Verteilung und Dichte, Erwartungswert und Varianz, spezielle diskrete und kontinuierliche Verteilungen, (klinische) Effekte, mittlere quadratische Fehler, Gesetze der großen Zahlen und der zentrale Grenzwertsatz. Es werden Schätzverfahren, Maximum Likelihood Methode, Hypothesentests, Konfidenzintervalle, multiples Testen und Testverfahren für metrische und diskrete Daten behandelt.
Weitere Inhalte sind statistische Signifikanz versus klinische Relevanz, Approximationen für kleine Fallzahlen so-
wie Prädiktionsmodelle und deren Anwendung in der Medizin.
Es werden lineare und nichtlineare Regression (logistische Regression) und deren Anwendung in der Bioinformatik vermittelt. Die Studierenden befassen sich mit Prädiktion und Prädiktionsfehler, Varianzanalyse und ihrer Interpretation, Methoden des statistischen Lernens, Clustering und Klassifikationsalgorithmen in der Bioinformatik, Diskriminanzanalyse, Hauptkomponentenanalyse (PCA). Sie wenden diese in der Bioinformatik an, z. B. zur Genvorhersage, Phylogenie oder Genexpressionsanalyse.